3.4 Régularité si $U\neq 0$

Régularité pour $U\neq 0$

Dans le cas où $U\neq 0$, on procède différemment. On dérive le modèle en temps et cela fait intervenir une nouvelle expression de la condition initiale qui devient:

\[ \varrho c_ v\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}(x,0)=\hbox{div}(k\nabla T_0(x))-U\varrho c_ v\displaystyle \frac{\partial T_0(x)}{\partial x_1}+r(x,0). \]

Sous réserve que $r$ et $T_0$ soient assez régulières en espace, on obtient ainsi la régularité de la solution $T$.
Mais il faut aussi que $r$ et $T_{ext}$ aient la bonne régularité en temps pour permettre d’appliquer le théorème d’existence au modèle obtenu en dérivant le modèle initial par rapport au temps.