3.3 Hyper-régularité si $U=0$

Remarque sur l’hyper-régularité de la solution quand $U=0$

Reprenons l’expression de la solution obtenue à l’écran 10.

\[ T(x,t)=\displaystyle \sum _{i\geq 1}\alpha _ i(t)w_ i(x). \]

Pour simplifier supposons que $\forall i\geq 1,r_ i=0$. La série dérivée à l’ordre $k$ en $t$ est:

\[ \color{red}\displaystyle \sum _{i\geq 1}\alpha _ i(0)(-\lambda _ i)^ ke^{-\lambda _ it}w_ i(x) \]

série normalement convergente dans l’espace:

\[ {\cal C}^0([t_0,\infty [;L^2(\Omega ))\forall t_0{>}0. \]


Sa somme est donc la dérivée de $T$.
On montre ainsi la régularité à tous les ordres des dérivées en temps.
Dans le cas où $r_ i\neq 0$ et/ou $T_{ext}\neq 0$ le résultat est encore vrai, mais à condition que $r$ et $T_{ext}$ soient des fonctions suffisamment régulières.