3.2 Existence d’une solution $U\neq 0$

Existence d’une solution si $U\neq 0$

Utilisons l’estimation a priori obtenue à l’écran 6. La suite de solutions approchées $T^ N$ est bornée dans l’espace:

\[ L^\infty (]0,t_ f[; L^2(\Omega ))\cap L^2(]0,t_ f[;H^1(\Omega )). \]

On peut donc en extraire une sous-suite notée $T^{N'}$ qui converge vers $T^{*}\in L^{\infty }(]0,t_ f[;L^2(\Omega ))\cap L^2(]0,t_ f[;[H^1(\Omega )])$ en un sens faible t.q.1:

\[ \boxed {\begin{array}{l}\forall \varphi \in H^1(]0,t_ f[;H^1(\Omega )),\hbox{ telle que }\varphi (x,t_ f)=0,\\ \hskip-2.84527559055pt\displaystyle \lim _{N'\rightarrow \infty }\displaystyle \int _0^{t_ f}\hskip-2.84527559055ptm(T^{N'},\displaystyle \frac{\partial \varphi }{\partial t})+m(T^{N'},\varphi )(0)\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt\displaystyle \int _0^{t_ f}\hskip-2.84527559055ptm(T^{*},\displaystyle \frac{\partial \varphi }{\partial t})+m(T^{*},\varphi )(0),\\ \hskip-2.84527559055pt\displaystyle \lim _{N'\rightarrow \infty }\displaystyle \int _0^{t_ f}\hskip-2.84527559055pt[a(T^{N'},\varphi )+Ub(T^{N'},\varphi )]=\displaystyle \int _0^{t_ f}\hskip-2.84527559055pt[a(T^{*},\varphi )+Ub(T^{*},\varphi )].\end{array}} \]

Ceci permet de prouver que $T^*$ est bien la solution du modèle avec $U\neq 0$. La convergence des conditions initiales est la conséquence de ce que la famille $\{ w_ i\} $ ($U\neq 0$) est une base hilbertienne.

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Footnotes

  1. voir H. Brézis ou J.L. Lions-E. Magenes par exemple