3.1 Existence d’une solution $U= 0$

Existence d’une solution pour $U=0$

Commençons par le cas le plus facile où $U=0$. La suite des solutions approchées est:

\[ T^ N(x,t)=\displaystyle \sum _{i=1,N}\alpha _ i(t)w_ i(x). \]

Les fonctions propres $w_ i$ et les valeur propres $\lambda _ i$ sont calculées avec $U=0$. Chaque coefficient $\alpha _ i$ est solution de:

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\[ \displaystyle \frac{d\alpha _ i}{dt}+\lambda _ i\alpha _ i=r_ i=\displaystyle \int _{\Omega }rw_ i+\displaystyle \int _{\partial \Omega }\xi T_{ext}w_ i ,\alpha _ i(0)=m(T_0,w_ i). \]

Et par conséquent:

\[ \alpha _ i(t)=\alpha _ i(0)e^{-\lambda _ i t} +\displaystyle \int _0^ tr_ i(s)e^{-\lambda _ i(t-s)}ds. \]


On a, $\forall t\in [0,t_ f]$ grâce à l’orthogonalité au sens de $m(.,.)$ et $a(.,.)$:

\[ \color{red}\displaystyle \sum _{i\geq i_0}\vert \alpha _ i(t)\vert ^2+\lambda _ i\displaystyle \int _0^ t\vert \alpha _ i(s)\vert ^2ds\leq 2 (\displaystyle \sum _{i\geq i_0}\vert \alpha _ i(0)\vert ^2+t_ f\displaystyle \int _0^ t\vert r_ i(s)\vert ^2 ds) \]


qui tend vers $0$ si $i_0\rightarrow \infty $ ($\{ w_ i\} $ est une base hilbertienne de $L^2(\Omega )$). La suite $T^ N$ est de Cauchy dans ${\cal C}^0([0,t_ f];L^2(\Omega ))\cap L^2(]0,t_ f[;H^1(\Omega ))$ (qui est complet) donc convergente. Sa limite est la solution.

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