2.5 Estimation a priori sur la solution approchée $T^ N$

Estimation a priori sur $T^ N$ dans l’espace fonctionnel: $ L^\infty (]0,t_ f[;L^2(\Omega ))\cap L^2(]0,t_ f[;H^1(\Omega ))$.

Le problème approché admet une solution unique notée $T^ N$ (théorie des EDOs). En multipliant l’équation du modèle approché par $T^ N$ et compte tenu de $b_ a(T^ N,T^ N)=0$, nous obtenons:

\[ \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \frac{d}{dt}m(T^ N,T^ N)+a(T^ N,T^ N)+Ub(T^ N,T^ N)=\displaystyle \int _\Omega rT^ N+\displaystyle \int _{\partial \Omega }\xi T_{ext}T^ N. \]

Nous avons vu sur l’écran 6 de ce cours, que:

\[ a(v,v)+Ub(v,v)\geq \displaystyle \frac{c_1}{2} \vert \vert v\vert \vert _{1,2,\Omega }^2-\displaystyle \frac{U^2\varrho c_ v}{2 c_1}m(v,v). \]

En utilisant l’inégalité de Gronwall et l’inégalité de Cauchy-Schwarz, nous obtenons ($r,T_0$ et $T_{ext}$ assez réguliers):

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$\forall t\in [0,t_ f]$

\[ \boxed {m(T^ N,T^ N)(t)\hskip-2.84527559055pt+\hskip-2.84527559055pt\displaystyle \frac{c_1}{2}\hskip-2.84527559055pt\displaystyle \int _0^{t}\vert \vert T^ N\vert \vert _{1,2,\Omega }^2\leq c_2(e^{\frac{U^2\varrho c_ v }{c_1}t_ f}\hskip-2.84527559055pt-1)\hskip-2.84527559055pt+\hskip-2.84527559055ptm(T_0,T_0)e^{\frac{U^2\varrho c_ v }{c_1}t_ f}} \]

$c_1$ est la constante de coercivité de $a(.,.)$ et $c_2$ et $c_3$ des constantes indépendantes de $N$ et de $T^ N$, fonction uniquement des données. Nous utiliserons cette estimation pour montrer la convergence de $T^ N$ vers la solution du modèle continu.