2.4 Problèmes approchés

Les problèmes approchés

Soit $V^ N=\{ v=\displaystyle \sum _{i=1,N}\beta _ iw_ i(x)\} $ èt le problème approché est:

\[ \boxed {\begin{array}{l}\hbox{ trouver }\forall t{>}0,T^ N(x,t)\in V^ N,\hbox{ o\` u } b(u,v)=U\varrho c_ v\displaystyle \int _{\Omega }\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_1}v,\\ \forall v\in V^ N,m(\displaystyle \frac{\partial T^ N}{\partial t},v)+Ub(T^ N,v)+a(T^ N,v)=\displaystyle \int _\Omega rv+\displaystyle \int _{\partial \Omega }\xi T_{ext}v,\\ T^ N(x,0)=\displaystyle \sum _{i=1,N}\alpha _ i(0)w_ i(x),\alpha _ i(0)= m(T_0,w_ i).\end{array}} \]

Sous forme matricielle, en notant (inversion des indices dans $B$!):

\[ M=\hskip-1.42263779528pt\{ m_{ij}=\hskip-1.42263779528ptm(w_ i,w_ j)\} ,A=\hskip-1.42263779528pt\{ a_{ij}=\hskip-1.42263779528pta(w_ i,w_ j)\} B=\hskip-1.42263779528pt\{ b_{ij}=b(w_ j,w_ i)\} \]

on obtient:

\[ \boxed {M\displaystyle \frac{\partial \alpha ^ N}{\partial t}+UB\alpha ^ N+A\alpha ^ N=R^ N,\alpha ^ N(0)=\{ \alpha _ i(0)\} } \]

où: $\alpha ^ N=\{ \alpha _ i\} $ sont les composantes de $T^ N$ dans la base $\{ w_ i\} _{i=1,N}$ et $R^ N=\{ r_ i=\displaystyle \int _\Omega rw_ i+\displaystyle \int _{\partial \Omega }\xi T_{ext}w_ i\} $.