2.3 Le problème spectral associé

Le problème spectral sous-jacent

Introduisons les espaces:

\[ V=\{ v\in H^1(\Omega )\} \hbox{ et }H=L^2(\Omega ), \]

ainsi que les formes bilinéaires (incluant la partie symétrique du terme de convection et $a(.,.)$ qui est $V$-coercive):

\[ \hskip-5.6905511811ptm(u,v)\hskip-2.84527559055pt=\hskip-5.6905511811pt\displaystyle \int _\Omega \hskip-5.6905511811pt\varrho c_ v uv,a_ U(u,v)\hskip-2.84527559055pt=\hskip-5.6905511811pt\overbrace{\displaystyle \int _{\Omega }\hskip-2.84527559055pt(k\nabla u,\hskip-1.42263779528pt\nabla v)\hskip-1.42263779528pt+\hskip-2.84527559055pt\displaystyle \int _{\partial \Omega }\hskip-8.53582677165pt\xi uv}^{\hbox{ $a(u,v)$}}+\displaystyle \frac{U\varrho c_ v}{2}\hskip-2.84527559055pt\overbrace{\displaystyle \int _{\Omega }(\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x_1}u+\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_1}v)}^{\hbox{ $b_ s(u,v)$}}. \]

On considère les vecteurs propres $\{ w_ i\} $ associés aux valeurs propres $\lambda _ i$ solutions de:

\[ \boxed {\begin{array}{l}(w_ i,\lambda _ i)\in V\times {\mathbb R}^{+*},m(w_ i,w_ i)=1\hbox{ tel que: }\\ \forall v\in V,\lambda _ im(w_ i,v)=a_ U(w_ i,v).\end{array}} \]

Nous avons vu au cours 6 que la famille $\{ w_ i\} $, (resp. $\{ \displaystyle \frac{w_ i}{\sqrt {\lambda _ i}}\} $ formait une base hilbertienne de l’espace $H$ (resp. de $V$) dès que $a_ U(.,.)$ est coercive au sens de Garding, ce qui est le cas ici (voir écran 6).