2.2 Coercivité au sens de Garding

Coercivité au sens de Garding

Revenons sur un résultat utilisé sur l’écran précédent. On pose

\[ a_ U(v,v)=a(v,v)+Ub(v,v)=a(v,v)+Ub_ s(v,v), \]

et on note $c_1$ la constante de coercicité de $a(.,.)$: c’est-à-dire t.q. :

\[ \forall v\in H^1(\Omega ),a(v,v)\geq c_1\vert \vert v\vert \vert _{1,2,\Omega }^2. \]

Tout d’abord l’inégalité de Cauchy-Schwarz nous permet d’écrire $\forall \alpha {>}0$:

\[ \forall v\in H^1(\Omega ):Ub(v,v)\leq \displaystyle \frac{\alpha }{2}\vert \vert v\vert \vert _{1,2,\Omega }^2+\displaystyle \frac{U^2\varrho c_ v}{2\alpha }m(v,v) \]

èt en choisissant ici encore $\alpha =c_1$:

\[ \boxed {\forall v\in H^1(\Omega ),a(v,v)+Ub(v,v)\geq \displaystyle \frac{c_1}{2}\vert \vert v\vert \vert _{1,2,\Omega }^2-\displaystyle \frac{U^2\varrho c_ v}{2c_1}m(v,v).} \]

C’est la coercivité au sens de Garding (bien que $a(.,.)+Ub(.,.)$ ne soit pas symétrique) car l’injection naturelle de $L^2(\Omega )$ dans $H^1(\Omega )$ est compacte (voir cours 5 et 6).