2.1 Unicité

Unicité

Supposons qu’il y ait deux solutions au modèle précédent. En faisant la différence de deux solutions notée $\overline T$ nous obtenons d’une part $\overline T(x,0)=0$ et d’autre part:

\[ \forall v\in H^1(\Omega ),m(\displaystyle \frac{\partial \overline T}{\partial t},v)+a(\overline T,v)+Ub(\overline T,v)=0, \]

ce qui en choisissant $v=\overline T$ conduit à

\[ \displaystyle \frac{1}{2}m(\overline T,\overline T)(t)+\displaystyle \int _0^ t [a(\overline T,\overline T)+Ub_ s(\overline T,\overline T)](s)ds=0. \]

Ou encore en utilisant la minoration1: ( $\forall \alpha {>}0$) (voir écran 6):

\[ a(v,v)+Ub_ s(v,v)\geq (c_1-\displaystyle \frac{\alpha }{2})\vert \vert v\vert \vert _{1,2,\Omega }^2-\displaystyle \frac{U^2\varrho c_ v}{2\alpha }m(v,v), \]

et pour $\alpha =c_1$:

\[ \hskip-2.84527559055pt{\color{blue}\displaystyle \frac{1}{2}m(\overline T,\overline T)(t)-\displaystyle \frac{U^2 \varrho c_ v }{2c_1}\int _0^ t \hskip-5.6905511811ptm(\overline T,\overline T)(s)ds\leq 0\overbrace{={>}}^{\hbox{ Gronwall}}\boxed {\begin{array}{l} \forall t\geq 0, m(\overline T,\overline T)(t)=0\\ ={>}\overline T=0\end{array}}} \]

Footnotes

  1. $c_1$ est la constante de $H^1(\Omega )$-coercivité de $a(.,.)$ (cf. video page 6) et on utilise l’inégalité Cauchy-Schwarz sur $b_ s(.,.)$