1.2 La formulation variationnelle

La formulation variationnelle

En multipliant formellement l’équation du modèle par une fonction arbitraire $v\in H^1(\Omega )$, on obtient (on applique la formule de Stokes):

\[ \boxed {\displaystyle \int _{\Omega }[\varrho c_ v[\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}+U\displaystyle \frac{\partial T}{\partial x_1}]v+(k\nabla T,\nabla v)]+\displaystyle \int _{\partial \Omega }\xi Tv=\displaystyle \int _\Omega rv+\displaystyle \int _{\partial \Omega }\xi T_{ext}v.} \]

àuquel il faut ajouter des conditions initiales. Pour $U$ constant, cela s’écrit:

\[ \boxed {m(\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t},v)+a(T,v)+Ub(T,v)=l(v),} \]

où:($\color{blue}\exists c_1{>}0,\forall v\in H^1(\Omega ),a(v,v)\geq c_1\vert \vert v\vert \vert _{1,2,\Omega }^2$):

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\[ \left\{ \begin{array}{l}m(T,v)\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt\displaystyle \int _{\Omega }\hskip-2.84527559055pt\varrho c_ vTv,a(T,v)\hskip-2.84527559055pt= \hskip-2.84527559055pt\displaystyle \int _\Omega \hskip-2.84527559055pt(k\nabla T,\nabla v)+\displaystyle \int _{\partial \Omega }\hskip-2.84527559055pt\xi Tv,\\ b(T,v)\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt\hskip-2.84527559055pt\displaystyle \int _{\partial \Omega }\hskip-2.84527559055pt\varrho c_ v\displaystyle \frac{\partial T}{\partial x_1}v,l(v)=\displaystyle \int _\Omega rv+\displaystyle \int _{\partial \Omega }\xi T_{ext}v,\end{array}\right. \]

On notera que la forme bilinéaire $b(.,.)$ qui intervient ci-dessus n’est pas symétrique, sauf pour $U=0$. On notera $b_ s(.,.)$ (resp. $b_ a(.,.)$) sa partie symétrique (resp. antisymétrique).