3.3 Limitations dues aux singularités

Cas d’une fissure

 

  Si on considère le problème suivant (voir exercice du cours 4):

\[ \boxed {\begin{array}{l}-\Delta u=f\hbox{ dans }\Omega , \\ u=0\hbox{ sur }\Gamma _0=\partial {\overline\Omega }\hbox{ périphérie},\\ \displaystyle \frac{\partial u}{\partial \nu }=0,\hbox{ sur }\Gamma _1,\hbox{ 2 bords de la fissure.}\end{array}} \]

Nous avons vu que $u\notin H^2(\Omega )$.

  \includegraphics[width=3.8cm]{aimages/image8-12.png}

 
L’estimation d’erreur d’interpolation ne peut donc pas s’appliquer à ce cas. Par contre on peut trouver des méthodes qui permettent de compenser cette perte de régularité, par exemple en enrichissant l’espace d’approximation $V^ h$ de la fonction singulière, due à la fissure.
On construit ainsi l’espace augmenté ${\tilde V}^ h=V^ h\oplus \{ f(r,\theta )\} $ où en coordonnées polaires $(r,\theta )$ et au voisinage du fond de fissure on a (voir exercice du cours 4) $f(r,\theta )=\sqrt {r}\cos (\displaystyle \frac{\theta }{2})$. Une fonction de troncature est utilisée pour localiser $f$.