3.2 Résultats sur l’interpolation en 2 et 3D

Théorie de l’interpolation a priori

Le théorème de l’écran précédent se généralise en dimension 2 ou 3 de la façon suivante:

Théorème erreur d’interpolation $P_1$-Lagrange en dimension 2 ou 3

Soit $\Omega $ un ouvert à frontière polygonale de ${\mathbb R}^2$ ou ${\mathbb R}^3$. On suppose que la famille de triangulations de l’ouvert $\Omega $ est uniformément régulière au sens où $\forall h,\forall K\in {\cal T}^ h, \displaystyle \frac{\varrho _ K}{h_ K}\geq a_0{>}0$ (voir cours 7). On note $V^ h\subset H^1(\Omega )$ l’espace construit à partir de l’élément $P_1$-Lagrange. Soit $f\in H^2(\Omega )\subset {\cal C}^0(\overline\Omega )$ et $\pi f \in V^ h$ l’interpolée de $f$ dans $V^ h$ qui prend les mêmes valeurs que $f$ aux sommets du maillage. Alors, $\exists c{>}0$ t. q.:

\[ \vert \vert f-\pi f\vert \vert _{0,2\Omega }+h\vert \vert f-\pi f\vert \vert _{1,2\Omega }\leq ch^2\vert f\vert _{2,2,\Omega }, \]

$\vert \vert _{2,2,\Omega }$ est la semi-norme des dérivées secondes de $f$ dans l’espace $L^2(\Omega )$:

\[ f\in H^2(\Omega ),\rightarrow \vert f\vert _{2,2,\Omega }=[\displaystyle \sum _{i,j\in \{ 1,2,3\} }\vert \vert \partial _{ij}f\vert \vert _{0,2,\Omega }^2]^{1/2}. \]

Preuve voir P.A. Raviart-J.M. Thomas, Analyse numérique des équations aux dérivées partielles, Masson, Paris (1983),

P.G. Ciarlet, The finite element method for elliptic problems, North-Holland, Amsterdam, (1978).