3.1 Principe de l’erreur d’interpolation en 1D

Estimation d’erreur d’interpolation

Théorème erreur d’interpolation pour le $P_1$-Lagrange

On maille l’ouvert $]0,L[$ par des segments de longueur $h=L/N$ supposée constante. Soit $f$ une fonction dont la dérivée seconde est de carré sommable sur $]0,L[$ (donc de classe ${\cal C}^1$). On note $\pi f$ la fonction de $V^ h$ (de dimension $N+1$) qui est affine par morceaux, continue sur $]0,L[$ et égale à $f$ aux degrés de liberté de $V^ h$. On a alors: $\exists c{>}0,\hbox{ indépendante de }h \hbox{ et de }f \hbox{ telle que: }$

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\[ \boxed {\vert \vert f-\pi f\vert \vert _{0,2,]0,L[}+h\vert \vert f-\pi f\vert \vert _{1,2,]0,L[}\leq ch^2\vert \vert \displaystyle \frac{d^2 f}{dx^2}\vert \vert _{0,2,]0,L[}.} \]
 
 
Remarque :

Si $f\notin H^2(]0,L[)$ mais si $\displaystyle \frac{d^2f}{dx^2}\in L^1(]0,L[),\exists c{>}0,$ $\hbox{ ind. de }h \hbox{ et }f \hbox{ t.q. }$
\[ \vert \vert f-\pi f\vert \vert _{0,2,]0,L[}+h\vert \vert f-\pi f\vert \vert _{1,2,]0,L[}\leq ch\sqrt {h}\vert \vert \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2}\vert \vert _{0,1,]0,L[}. \]

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