1.4 Cas des quadrangles

Cas des quadrangles

Pour un quadrilatère on utilise la transformation $F_ Q$ qui applique un carré de référence $\hat Q$ sur celui-ci. Les composantes sont des fonctions de l’espace des polynômes:

\[ Q_1=\{ q=a x_1+bx_2+cx_1x_2+d\} \]

Les termes de la matrice $DF_ Q^{-1}$ sont des fractions rationnelles avec des dénominateurs qui sont des polynômes du second degré car $\det (DF_ Q)$ est un polynôme du second degré. On notera d’ailleurs que: \[ DF_ Q^{-1}=\displaystyle \frac{1}{\det (DF_ Q)}^{t}\hskip-1.42263779528pt{DF_ Q^{\hbox{co}}} \] ce qui permet de ne diviser qu’une fois par le déterminant de $DF_ Q$ et simplifie le problème de l’intégration numérique.
La fonction $\det (DF_ Q)$ s’annule aux points de concours des côtés opposés du quadrilatère. Dans le cas d’un losange ou d’un rectangle ces points sont rejetés à l’infini. Ils sont d’autant plus éloignés que les points de concours des médianes et des diagonales sont proches.