1.2 Procédure de calcul

Boucle d’assemblage

Prenons l’exemple du laplacien en dimension 2. On doit calculer la matrice $A=\{ a_{ij}=\displaystyle \int _{\Omega }(\nabla w_ i,\nabla w_ j)\} $.

Le principe de l’assemblage est de réaliser une boucle sur les éléments et d’écrire:

\[ a_{ij}=\displaystyle \sum _{K\in {\cal T}^ h}\displaystyle \int _ K(\nabla w_ i,\nabla w_ j). \]
\includegraphics[width=3cm]{aimages/image8-05.png}

On peut utiliser un élément de référence $\hat K$ en utilisant l’application $F_ K$ qui transforme $\hat K$ en $K$. Dans le cas d’un triangle, elle est linéaire.

Notons $\{ a_ i^ j\} ,i=1,2$ les coordonnées du sommet $j$. Si $(\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3)$ désignent les coordonnées barycentriques sur $\hat K$ et $(x_1,x_2)$ celles du domaine physique (de l’ouvert $\Omega $), nous avons:

\[ \hskip-8.53582677165pt\left(\begin{array}{l}x_1\\ x_2\\ 1\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc} {a}_1^1 & a_1^2 & a_1^3~\\ {a}_2^1 & a_2^2 & a_2^3~\\ 1& 1& 1 \end{array} \hskip-5.6905511811pt\right)\left( \begin{array}{l}\lambda _1\\ \lambda _2\\ \lambda _3\end{array} \right)\hbox{ et } DF_ K =\left(\begin{array}{l}\hskip-5.6905511811pt\begin{array}{cc}a_1^1-a_1^3& a_1^2-a_1^3\end{array}\\ \hskip-5.6905511811pt\begin{array}{cc}a_2^1-a_2^3& a_2^2-a_2^3\end{array}\end{array}\hskip-5.6905511811pt\right) \]

Calcul des contributions de $K$

Sur chaque triangle $K$ on renvoit le calcul sur le triangle de référence $\hat K$ sur lequel on connait les fonctions de forme reliées aux fonctions de base $w_ i$ par ($\hat S_ j$ sont les sommets de $\hat K$ et $\xi $ les coordonnées locales):

\[ \boxed {\hat w_ i(\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3)=w_ i (x_1,x_2) \hbox{ et } \xi =\displaystyle \sum _{i=1,3}\lambda _ i\hat S_ i,\xi =\{ \xi _ i\} ,i=1,2} \]

(sur l’écran précédent: $\lambda _1=\xi _1,\lambda _2=\xi _2,\lambda _3=1-\xi _1-\xi _2$),
ce qui nous conduit à:

\[ \boxed {\displaystyle \int _ K(\nabla w_ i,\nabla w_ j)=\displaystyle \int _{\hat K}( ^ t\hskip-1.42263779528ptDF_ K^{-1}\hat\nabla \hat w_ i,^ t\hskip-2.84527559055ptDF_ K^{-1}\hat\nabla \hat w_ j,)\det (DF_ K)} \]

On notera que dans les expressions ci-dessus et pour un triangle, $DF_ K^{-1}$ et $\det (DF_ K)$ sont constantes sur $\hat K$. Si $w_ i$ est de degré $q$ on doit donc intégrer des polynômes de degré $2q$ (évident si $q=0$).