4.2 Exemples d’EF de Hermite

Exemple d’éléments finis de Hermite

Cas des modèles d’EDP faisant intervenir l’espace $H^2(\Omega )$
On peut construire une autre famille d’éléments finis en faisant appel aux dérivées en certains points des éléments.
Par exemple, pour résoudre les problèmes de poutres, de plaques et de coques, dans lesquels les formes bilinéaires font intervenir des dérivées secondes (voir cours 3), ce qui implique l’espace $H^2(\Omega )$.
Elément de Hermite de classe ${\cal C}^1$ en 1D
On découpe le segment $[0,L]$ en sous-segments de longueur $h=L/(N+1)$ et construit l’espace $V^ h\subset H^2_0(]0,L[)$ de dimension $2N$ des fonctions qui sont globalement ${\cal C}^1$ sur $[0,L]$ et dont la restriction à chaque sous-segment $[ih,(i+1)h]$ est un polynôme de degré 3. De plus elles sont nulles ainsi que leurs dérivées aux extrémités du segment $[0,L]$.
Ils sont parfaitement définis par les valeurs des fonctions ainsi que celles de leurs dérivées aux sommets $S_ i$ de coordonnées $ih$. Ce sont les degrés de liberté, ou DDL en abrégé).
Exercice: construire les fonctions de forme.