3 Exemple 1D

Eléments finis 1D

En dimension 1, on partage le segment de longueur $L$ en $N+1$ sous-segments et l’on pose: $h=L/(N+1)$. L’espace $V^ h$ est ici celui des fonctions affines par morceaux, continus aux sommets $S_ j$ de coordonnées $ih,i=1,N$. Les fonctions de base $w_ i$ sont les fonctions ci-dessous:
\includegraphics[width=5cm,height=2cm]{aimages/fsanti.png}
Pour la forme bilinéaire $a(u,v)=\displaystyle \int _0^ L\displaystyle \frac{du}{dx}\displaystyle \frac{dv}{dx}$ la matrice $A$ est:

\[ { A=\frac{1}{h}\left(\begin{array}{cccccc}\begin{array}{l}2\\ -1\\ 0\\ \ldots \\ 0\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}-1\\ 2\\ -1\\ 0\\ \ldots \\ 0\end{array}& \begin{array}{l}0\\ -1\\ 2\\ _1\\ 0\\ \ldots \end{array}& \begin{array}{l}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ \ldots \\ -1\\ 2\end{array}\end{array}\right).} \]