3.4 Sensibilté au domaine

Epilogue

On fait un développement à l’ordre $1$ en posant:

\[ (u^\eta ,\lambda ^\eta )=(u^0,\lambda ^0)+\eta (u^1,\lambda ^1)+\ldots \]

et en identifiant les termes de même puissance en $\eta $ dans l’expression résultante, on obtient tout d’abord:

Ouvrir/fermer la video.

\[ \boxed {\lambda ^1=\displaystyle \int _{\Omega }[c^2\vert \nabla u^0\vert ^2-\lambda ^0\vert u^0\vert ^2]\hbox{div}(\theta )-2c^2(D\theta \nabla u^0,\nabla u^0),} \]

$(u^0,\lambda ^0)$ est solution du problème de valeur propre posé sur $\Omega $.
Puis en utilisant la formule de Stokes:

Ouvrir/fermer la video.

\[ \boxed {\lambda ^1=-c^2\displaystyle \int _{\partial {\cal O}}\vert \displaystyle \frac{\partial u^0}{\partial \nu }\vert ^2 (d,\nu ),} \]

$d$ est la translation de l’ouvert ${\cal O}$ correspondant au déplacement du pied du musicien sur la membrane. Ceci représente les variations au premier ordre (en $\eta $) des valeurs propres de la membrane.
Merci à mon ami Jean-Emile Symphor pour m’avoir initié au tambour Bèlè.