3.3 Renvoi du problème sur l’ouvert de référence

La transformation géométrique

Le pb de vp sur $\Omega ^\eta $ :

\[ \begin{array}{l}(u,\lambda ^\eta )\in H^1_0(\Omega ^\eta )\times {\mathbb R},\displaystyle \int _{\Omega ^\eta }\vert u\vert ^2=1,\\ \forall v\in H^1_0(\Omega ^\eta ), c^2\displaystyle \int _{\Omega ^\eta }(\nabla ^\eta u,\nabla ^\eta v)=\lambda ^\eta \displaystyle \int _{\Omega ^\eta }uv.\end{array} \]
 

Le pb de vp sur $\Omega $ :

\[ \begin{array}{l}(u^\eta ,\lambda ^\eta )\in H^1_0(\Omega )\times {\mathbb R},\displaystyle \int _{\Omega }\vert u^\eta \vert ^2\det (I+\eta D\theta )=1,\\ \forall v\in H^1_0(\Omega ), c^2\displaystyle \int _{\Omega }((I+\eta ^{t}\hskip-0.56905511811ptD\theta )^{-1}\nabla u^\eta ,(I+\eta ^{t}\hskip-0.56905511811ptD\theta )^{-1}\nabla v)\det (I+\eta D\theta )\\ =\lambda ^\eta \displaystyle \int _{\Omega ^\eta }u^\eta v \det (I+\eta D\theta ).\end{array} \]