2.2 Application du théorème de Fredholm

Plaque précontrainte

On considère une plaque en flexion occupant l’ouvert $\Omega $ dans le plan $0;x_1,x_2$ et de frontière $\Gamma $. Le modèle est le suivant:

 

 

Formulation forte :

\[ \boxed {\begin{array}{l}\hbox{ trouver }u\in H_0^2(\Omega ),\hbox{ tel que:}\\ D\Delta ^2 u-2\varepsilon p\Delta u=f\hbox{ dans }\Omega .\end{array}} \]

$p$ est la précontrainte,

$D$ le module de flexion,

$2\varepsilon $ l’épaisseur de la plaque.

On notera la formule (exercice): $\forall u,v\in H^2_0(\Omega ):$

\[ \displaystyle \int _\Omega \Delta ^2uv=\displaystyle \int _\Omega \Delta u\Delta v=\displaystyle \int _\Omega \partial _{ij}u\partial _{ij}v. \]
 

 

Formulation faible :

\[ \boxed {\begin{array}{l}u\in H^2_0(\Omega ),\hbox{ tel que }\forall v\in H^2_0(\Omega ):\\ a(u,v)+pm(u,v)=\displaystyle \int _\Omega fv\end{array}} \]

avec les notations:

\[ \begin{array}{l}a(u,v)=D\displaystyle \int _\Omega \partial _{ij}u\partial _{ij}v,\\ m(u,v)=2\varepsilon \displaystyle \int _\Omega (\nabla u,\nabla v).\end{array} \]
 

 
On peut alors appliquer la théorie de Fredholm avec $V=H^2_0(\Omega ),H=H^1_0(\Omega )$ $a(.,.),m(.,.)$ dans leur rôle et $p=-\eta $.