1.3 Quelques compléments

Compléments

Théorème le théorème du max-min

Notons $(\lambda _ k,w_ k)\in {\mathbb R}^{+*}\times V$ les solutions du modèle spectral (écran précédent). Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $V$. On appelle $codim(E)$ la dimension d’un supplémentaire de $E$ dans $V$. Si $codim(E)=0$ alors $E=V$. On a la propriété suivante $\forall k\geq 1$:

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\[ \lambda _ k=\max _{E\subset V, codim(E)=k-1}\min _{v\in E}\displaystyle \frac{a(v,v)}{m(v,v)}(=R(v)\hbox{ quotient de Rayleigh}). \]
 

Théorème les $\# $ et les $\flat $

On suppose que $V_0\subset V$ et que $codim(V_0)=1$. On note $(\lambda _ k^1,w_ k^1)\in {\mathbb R}^{*+}\times V_0$ les solutions du problème spectral (écran précédent), mais posé sur l’espace $V_0$. On a:

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\[ 0{<}\lambda _1\leq \lambda _1^1\leq \lambda _2\leq \lambda _2^1\leq \lambda _3\ldots \]