5 Première application

Un problème de membrane en drapeau

Le modèle $k\in L^{\infty }(\Omega ),k\geq k_0{>}0$ :

\begin{eqnarray*} \begin{array}[t]{lr}\begin{array}{l} -div(k\nabla u)=f\hbox{ dans }\Omega \subset {\mathbb R}^2,\\ ù=0 \hbox{ sur }\Gamma _0\subset \Gamma ,\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \nu }=0 \hbox{ sur }\Gamma _1\subset \Gamma . \end{array}\end{array}\end{eqnarray*}

\includegraphics[width=3.7cm]{aimages/image5-07.png}

 

La formulation variationnelle :

La formule de Stokes permet d’obtenir la formulation faible suivante:

\[ \boxed {\begin{array}{l}u\in V=\{ v\in H^1(\Omega ),v_{\vert \Gamma _0}=0\} ,\forall v\in V \displaystyle \int _{\Omega }k\nabla u\nabla v=\displaystyle \int _{\Omega }fv.\end{array}} \]

èt le théorème issu de l’inégalité de Poincaré, permet d’établir:

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\[ \forall v\in V,a(v,v)=\displaystyle \int _{\Omega }k\vert \nabla v\vert ^2\geq ck_0\vert \vert v\vert \vert _ V^2. \]

Le théorème de Lax-Milgram s’applique.