4 Le théorème de Riesz

Un point clé dans l’analyse hilbertienne

Soit $V$ un espace de Hilbert dont la norme est engendrée par le produit scalaire $((.,.))$. On a alors le résultat suivant:

Théorème Théorème de Riesz

Pour toute forme linéaire continue sur $V$, soit ${\cal E}$, il existe un élément unique $E \in V$ tel que:

\[ \forall v\in V,{\cal E}(v)=((E,v)). \]

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Application. Soit $a(.,.)$ une forme bilinéaire continue sur un Hilbert $V$. On a ainsi:

\[ \forall u,v\in V,\vert a(u,v)\vert \leq c\vert \vert u\vert \vert _ V\vert \vert v \vert \vert _ V. \]

Pour $u$ fixé, l’application: $v\in V,\rightarrow a(u,v)$ est une forme linéaire continue sur $V$. D’après le théorème de Riesz, $\exists Au\in V$ tel que:

\[ \forall v\in V,a(u,v)=((Au,v)) \]

On vérifie aisément que: $u\in V\rightarrow Au\in V$ est linéaire et continue.