3.2 Normes équivalentes sur $H^1(\Omega )$

L’inégalité de Poincaré

Puisque l’application trace est continue, on peut définir un sous-espace fermé de l’espace $H^1(\Omega )$ constitué des fonctions qui s’annulent sur toute (ou partie de) la frontière de $\Omega $. On note par exemple:

\[ H^1_0(\Omega )=\{ v\in H^1(\Omega ),v=0\hbox{ sur }\Gamma \} . \]

Un autre espace utile est:

\[ H^2_0(\Omega )=\{ v\in H^1_0(\Omega )\cap H^2(\Omega ),\displaystyle \frac{\partial v}{\partial \nu }=0 \hbox{ sur }\Gamma \} . \]

On peut alors construire d’autres normes sur ces espaces que celles induites par l’espace $H^1(\Omega )$ ou $H^2(\Omega )$. Par exemple:

Théorème Inégalité de Poincaré

L’application:

\[ v\in H^1_0(\Omega )\rightarrow \sqrt {\displaystyle \sum _{i=1,n}\vert \vert \partial _ iv\vert \vert ^2_{0,2,\Omega }}, \]

est une norme sur l’espace $H^1_0(\Omega )$ équivalente à la norme de $H^1(\Omega )$.

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