3.1 Traces de fonctions et injections classiques

Trace de fonctions sur $\Gamma =\partial \Omega $

Lorsque l’on modifie la valeur d’une fonction $f\in L^1(] 0,L [)$ en un point de l’ouvert $]0,L[$ on ne change par son intégrale. En fait toute ces fonctions sont définies à un un ensemble de mesure nulle près (points).
Cela n’aurait donc pas de sens de parler de la valeur de $f$ en un point de $]0,L[$ ou même en $0$ ou $L$.
Par contre si $f\in H^1(]0,L[)$ on sait définir sa valeur en un point de $]0,L[$. D’ailleurs on montre

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que $H^1(]0,L[\subset {\cal C}^0([0,L])$. Plus généralement:

Théorème Théorème de trace

Si $f\in H^1(\Omega )$, alors la restriction (ou trace) de $f$ à la frontière $\Gamma $ de $\Omega $ est définie en tant que fonction de l’espace $L^2(\Gamma )$. De plus cette application trace est continue au sens où ($c$ est une constante indépendante de $f$):

\[ \vert \vert f\vert \vert _{0,2,\Gamma }\leq c\vert \vert f\vert \vert _{1,2,\Omega }. \]