3 Quelques espaces incontournables

Espaces de Hilbert avec dérivées

A partir de maintenant nous pouvons dériver n’importe quelle fonction au sens des distributions. On pose:

\[ \boxed {H^1(\Omega )=\{ v\vert v\in L^2(\Omega ),\partial _ i v\in L^2(\Omega )\} ,} \]

équipé de la norme:

\[ \boxed {v\in H^1(\Omega )\rightarrow \vert \vert v \vert \vert _{1,2,\Omega }=[\vert \vert v\vert \vert _{0,2,\Omega }^2+\displaystyle \sum _{i=1,n}\vert \vert \partial _ i v\vert \vert ^2_{0,2,\Omega }]^{1/2},} \]\[ \boxed {H^2(\Omega )=\{ v\vert v\in H^1(\Omega ),\partial _{ij}v\in L^2(\Omega )\} ,} \]

équipé de la norme:

\[ \boxed {v\in H^2(\Omega )\rightarrow \vert \vert v \vert \vert _{2,2,\Omega }=[\vert \vert v\vert \vert _{1,2,\Omega }^2+\displaystyle \sum _{i,j=1,n}\vert \vert \partial _{ij} v\vert \vert ^2_{0,2,\Omega }]^{1/2}.} \]

Ce sont des espace de Hilbert (leurs normes sont engendrées par un produit scalaire et ils sont complets).