2.2 Quelques outils distributions

Exemples fondamentaux dans ${\cal D}^{'}(\Omega )$

L’un des avantages des distributions est de permettre de dériver n’importe quelle fonction (ou distribution).  
Définition Dérivées au sens des distributions :

Soit $T\in {\cal D}^{'}(\Omega )$. On appelle dérivée de $T\in {\cal D}^{'}(\Omega )$ par rapport à la cordonnée $x_ i$ au sens des distributions et on note $\partial _ i T$, la distribution définie par: \[ \forall \varphi \in {\cal D}(\Omega ),\langle \partial _ i T,\varphi \rangle =-\langle T,\displaystyle \frac{\partial \varphi }{\partial x_ i}\rangle . \] Quelques exercices indispensables: Corrections../afilms/V2C5

  • si $f\in {\cal C}^1(\Omega )$ on a (exercice) $\partial _ i T_ f=T_{ \frac{\partial f}{\partial x_ i}}$;

  • soit $\Omega =]0,L[$ et $f(x)=Y(x-L/2)$ (fonction d’Heaviside). Alors: $\partial _ x T_ f=\delta _{L/2}$,

  • $\Omega =]-L,L [$.L’équation dans ${\cal D}^{'}(\Omega ):xT=0$ admet comme unique solution:

    \[ T=C\delta _0,\hbox{ $C$ est une constante arbitraire}. \]