2.1 Les définitions

Survol de la théorie des distributions

On note ${\cal D}(\Omega )$ l’espace des fonctions qui sont ${\cal C}^\infty (\Omega )$ et dont le support est supposé borné et strictement inclus dans l’ouvert $\Omega $.
On appelle forme linéaire continue sur ${\cal D}(\Omega )$ une expression notée $T$ telle que appliquée à une fonction $\varphi \in {\cal D}(\Omega ),\langle T,\varphi \rangle \in {\mathbb R}$ et:

\[ \hskip-11.3811023622pt\boxed {\begin{array}{l}\forall (\varphi _1,\varphi _2,\alpha _1,\alpha _2)\in [{\cal D}(\Omega )]^2\times {\mathbb R}^2:\\ \hskip28.4527559055pt\langle T,\alpha _1\varphi _1+\alpha _2\varphi _2\rangle =\alpha _1\langle T,\varphi _1\rangle +\alpha _2\langle T,\varphi _2\rangle ,\\ \hbox{si }\varphi _ n\rightarrow \varphi \hbox{ dans }{\cal C}^\infty (\Omega )\hbox{ alors }\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\langle T,\varphi _ n\rangle =\langle T,\varphi \rangle .\end{array}} \]

Par exemple si $f\in L^1(\Omega )$, on lui associe la forme linéaire sur ${\cal D}(\Omega )$ définie par:

\[ \forall \varphi \in {\cal D}(\Omega ),\langle T_ f,\varphi \rangle =\displaystyle \int _{\Omega } f\varphi . \]

Celle de Dirac au point $a$ est notée $\delta _ a$ et définie par:

\[ \forall \varphi \in {\cal D}(\Omega ),\langle \delta _ a,\varphi \rangle =\varphi (a). \]

 
Définition Espace des distributions sur $\Omega $ :

L’ensemble des formes linéaires continues sur l’espace ${\cal D}(\Omega )$ s’appelle ${\cal D}^{'}(\Omega )$ et un élément est une distribution.