3.1 Un exemple

Un exemple

L’ouvert $\Omega =]0,L[\times ]0,l[$ est un rectangle de côté $L$ et $l$. La méthode de séparation des variables, nous conduit aux expressions:

\[ \boxed {\forall n,m\in {\mathbb N}^*:w_{nm}(x_1,x_2)=\displaystyle \frac{2}{\sqrt {Ll}}\sin (\displaystyle \frac{n\pi x_1}{L})\sin (\displaystyle \frac{m\pi x_2}{l}).} \]

On vérifie directement que cette famille à double indice est une base hilbertienne de l’espace $L^2(\Omega )$. Dans le cas du modèle dynamique, on obtient (exercice) avec $x=(x_1,x_2)$:

Ouvrir/fermer la video.

\[ u(x,t)=\displaystyle \sum _{n,m\in {\mathbb N}^*}\alpha _{nm}(t)w_{nm}(x), \]

$\alpha _{nm}(0)=\displaystyle \int _\Omega u_0 w_{nm},\dot\alpha _{nm}(0)=\displaystyle \int _\Omega u_1w_{nm}$ et $\lambda _{nm}=\pi ^2c^2(\displaystyle \frac{n^2}{L^2}+\displaystyle \frac{m^2}{l^2})$:

\[ \boxed {\begin{array}{l}\alpha _{nm}(t)=\alpha _{nm}(0)\cos (\sqrt {\lambda _{nm}}t)+\displaystyle \frac{\dot\alpha _{nm}(0)}{\sqrt {\lambda _{nm}}}\sin (\sqrt {\lambda _{nm}}t)\\ \hskip28.4527559055pt+\displaystyle \frac{1}{\sqrt {\lambda _{nm}}}\displaystyle \int _0^ t\displaystyle \int _\Omega f(x,s)w_{nm}(x)\sin (\sqrt {\lambda _{nm}}(t-s))dsdx\end{array}} \]