3 Un choix d’espace $V^ N$

Choix d’espace $V^ N$

Dans le cas approché, on doit résoudre: $AX=F$. Si on utilise les vecteurs propres de $A$ qui forment une base orthonormée notée $\{ w_ i\} $ et associés aux valeurs propres $\lambda _ i$, on a: $X=\displaystyle \sum _{i=1,N}\displaystyle \frac{(F,w_ i)}{\lambda _ i}w_ i.$ L’idée des méthodes dites spectrales est de généraliser cette démarche à la dimension infinie. On cherche des $\lambda _ i\in {\mathbb R}$ et $w\in V=H^1_0(\Omega )$ tels que:

\[ \forall v\in V,\lambda _ i\displaystyle \int _\Omega w_ iv=c^2\displaystyle \int _\Omega (\nabla w_ i,\nabla v), \hbox{ on normalise par: }\displaystyle \int _\Omega w_ i^2=1, \]

et les fonctions $w_ i$ devront réaliser une base hilbertienne des fonctions de carrés sommables sur $\Omega $. En interprétant ce modèle localement on obtient:

\[ -c^2\Delta w_ i=\lambda _ i w_ i\hbox{ dans }\Omega ,w_ i=0\hbox{ sur }\Gamma . \]

La solution statique est cherchée dans l’espace engendré par les $w_ i$:

\[ \boxed {u=\displaystyle \sum _{i=1,\infty }\alpha _ i w_ i=\displaystyle \sum _{i=1,\infty }\displaystyle \frac{\displaystyle \int _\Omega fw_ i}{\lambda _ i}w_ i.} \]