2.1 L’estimation a priori

Principe de l’estimation d’erreur

En faisant la différence entre les deux équations vérifiées par $u$ et $u^ N$:

\[ \forall v\in V^ N,c^2\displaystyle \int _\Omega (\nabla (u-u^ N),\nabla v)=0. \]

Notons $\Pi u$ une approximation de $u$ par un élément de l’espace $V^ N$.
En choisissant $v=\Pi u-u^ N$ on obtient:

\[ c^2\displaystyle \int _\Omega (\nabla (u-u^ N),\nabla (u-u^ N))+c^2\displaystyle \int _\Omega (\nabla (u-u^ N),\nabla (\Pi u-u))=0, \]

et en utilisant l’inégalité de Schwarz:

\[ \boxed {\sqrt {\displaystyle \int _\Omega \vert \nabla (u-u^ N)\vert ^2}\leq \sqrt {\displaystyle \int _\Omega \vert \nabla (u-\Pi u)\vert ^2.}} \]

Ceci prouve que $u^ N$ est la meilleure approximation de $u$ par un élément de l’espace $V^ N$ au sens de la norme:

\[ v\in V=H^1_0(\Omega )\rightarrow \sqrt {\displaystyle \int _\Omega \vert \nabla v\vert ^2}. \]