1.4 Unicité

Unicité d’une solution

En remarquant que la différence $q$ entre deux solutions vérifie:

\[ \forall v\in V,\displaystyle \int _{\Omega }\displaystyle \frac{\partial ^2q}{\partial t^2}v+c^2\displaystyle \int _\Omega (\nabla q,\nabla v)=0. \]

En choisissant $v=\displaystyle \frac{\partial q}{\partial t}$ nous obtenons:

\[ \boxed {\displaystyle \frac{d}{dt}[\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \int _\Omega \vert \displaystyle \frac{\partial q}{\partial t}\vert ^2+\displaystyle \frac{c^2}{2}\displaystyle \int _\Omega \vert \nabla q\vert ^2]=0,} \]

et compte tenu des conditions initiales homogènes de $q$, ceci implique bien que $q=0$, d’où l’unicité.

Le principe de Galerkin

Supposons que l’on dispose de $N$ fonctions $w_ i$ régulières, linéairement indépendantes et nulles sur $\Gamma $ ($w_ i\in V=H^1_0(\Omega )$). On construit alors un espace de dimension finie sous-espace de $V$ et noté:

\[ V^ N=\{ v=\displaystyle \sum _{i=1,N}\alpha _ iw_ i\} \]

On se propose alors de trouver une solution approchée $u^ N(t)\in V^ N,\forall t{>}0$ de la FV en posant (principe de Galerkin):

\[ \boxed {\begin{array}{l}\hbox{ trouver }u^ N=\displaystyle \sum _{i=1,N}\alpha _ i(t)w_ i,\hbox{tel que:}\\ \forall j=1,N\displaystyle \sum _{i=1,N}\ddot\alpha _ i\displaystyle \int _{\Omega }w_ iw_ j+\alpha _ i c^2\displaystyle \int _{\Omega }(\nabla w_ i,\nabla w_ j)=\displaystyle \int _\Omega fw_ j.\end{array}} \]

Le principe de Galerkin

On introduit les notations matricielles:

\[ \begin{array}{l}X=\{ \alpha _ i\} ,,F=\{ f_ i=\displaystyle \int _\Omega fw_ i\} \\ A=\{ a_{ij}=c^2\displaystyle \int _{\Omega }(\nabla w_ i,\nabla w_ j)\} ,M=\{ m_{ij}=\displaystyle \int _\Omega w_ iw_ j\} .\end{array} \]

èt le modèle variationnel approché consiste à résoudre le système différentiel matriciel ($X(0)$ et $\dot X(0)$ sont des approximations de $u_0$ et $u_1$ dans l’espace $V^ N$):

\[ M\ddot X+AX=F,X(0)=\{ \alpha _ i(0)\} ,\dot X(0)=\{ \dot\alpha _ i(0)\} . \]

 
Remarque :

Les matrices $A$ et $M$ sont toutes deux symétriques. Elles sont aussi définies positives. On peut donc les diagonaliser dans la même base et se ramener à $N$ équations différentielles scalaires indépendantes.

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Estimation d’erreur dans le cas statique

On se place dans le cas où $f$ est indépendante du temps. Le problème continu sous forme variationnelle consiste à trouver $u\in V=H^1_0(\Omega )$ tel que:

\[ \boxed {\forall v\in V,c^2\displaystyle \int _\Omega (\nabla u,\nabla v)=\displaystyle \int _\Omega fv.} \]

Une approximation de $u$ notée $u^ N \in V^ N$ est définie par:

\[ \boxed {\forall v\in V^ N,c^2\displaystyle \int _\Omega (\nabla u^ N,\nabla v)=\displaystyle \int _\Omega fv.} \]

Le problème approché admet une solution unique (la matrice $A$ est symétrique, définie positive).