1.3 Interprétation de la FV

Interprétation de la formulation variationnelle

En appliquant la formule de Green à l’envers, (sachant que $u=0$ sur $\Gamma $), on obtient (${\cal D}(\Omega )$ est l’espace des fonctions ${\cal C}^\infty (\Omega )$ et à support compact dans l’ouvert $\Omega $):

\[ \forall v\in {\cal D}(\Omega ),\displaystyle \int _{\Omega }(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}-c^2\Delta u-f)v=0, \]

ce qui implique que l’équation d’état est vérifiée par une solution de la formulation faible.

La théorie de Peter Lax (le théorème de Lax-Milgram et la méthode de Galerkin) permet de résoudre directement la FV. Son avantage réside principalement dans le fait qu’elle ne fait intervenir qu’une dérivée de $u$ et non pas deux comme dans le laplacien.

Ceci est fondamental dans la construction d’une méthode d’approximation numérique.
L’unicité d’une solution se montre en utilisant l’invariant énergétique (écran suivant).