1.2 Stokes et ses variantes

Stokes, Green, Ostrogradski

Soit $u$ une fonction et $p=\{ p_ i\} ,i=1,2,...N$ un champ de vecteurs défini sur un ouvert $\Omega $ de ${\mathbb R}^ N$ de frontière $\Gamma $ supposé de classe ${\cal C}^1$ et dont la normale unitaire sortante à $\Omega $ est notée $\nu $ alors que sa tangente est $\tau $ (sens direct de $\tau $ à $\nu $).
Nous supposerons ces quantités suffisamment régulières. On a tout d’abord la formule de Stokes suivante que nous acceptons:

\[ \boxed {\displaystyle \int _{\Omega }\hbox{div}(p)=\displaystyle \int _\Gamma (p,\nu ).} \]

Puis la formule de Green qui est une conséquence ($\nabla u=\hbox{grad}(u)$):

\[ \boxed {\displaystyle \int _{\Omega }u\hbox{div}(p)+\displaystyle \int _{\Omega }(\nabla u,p)=\displaystyle \int _\Gamma u(p,\nu ).} \]

Enfin, nous utiliserons la formule dite d’Ostrogradski en dimension 2 pour simplifier ($\hbox{curl }(p)=\partial _1p_2-\partial _2 p_1$ et $\hbox{rot}(u)=(-\partial _2 u,\partial _1 u)^{t}$):

\[ \boxed {\displaystyle \int _{\Omega }u\hbox{curl}(p)+\displaystyle \int _{\Omega }(\hbox{rot} u,p)=\displaystyle \int _\Gamma u(p,\tau ).} \]

Application de Green

En multipliant l’équation d’état de la membrane par une fonction test arbitraire régulière, $v$ nulle sur $\Gamma $ et en appliquant la formule de Green:

\[ \forall v,c^2\displaystyle \int _{\Omega }\Delta u v=c^2\displaystyle \int _{\Gamma }(\nabla u,\nu )v-c^2\displaystyle \int _\Omega (\nabla u,\nabla v)=\displaystyle \int _\Omega \displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} v-\int _\Omega fv. \]

Dans toute la suite nous noterons: $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \nu }=(\nabla u,\nu )$ qui est la dérivée normale de $u$. Nous introduisons aussi la notation des espaces de Sobolev Hilbertien (fonctions et leurs dérivées de carrés sommables, nulles sur $\Gamma $):

\[ V=H^1_0(\Omega ),\hbox{ notation qui sera définie plus tard.} \]

Nous avons ainsi construit une nouvelle formulation du modèle appelée formulation faible ou variationnelle, point clé dans la suite:

\[ \boxed {\begin{array}{l} \hbox{Trouver } u \hbox{ tel que }\forall t{>}0; u\in V,u(x,0)=u_0(x),\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=u_1(x):\\ \forall v\in V,\displaystyle \int _\Omega \displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} v+c^2\displaystyle \int _\Omega (\nabla u,\nabla v)= \int _\Omega fv.\end{array}} \]