2.2 Propriétés cachées

Calcul des moments aux bords ($f=0$)

Nous nous limiterons au cas de la fonction $\theta =x$ dans la méthode de la recherche d’invariant de convection.
En multipliant l’équation de la poutre par $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\theta $, nous obtenons:

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\[ \boxed {\begin{array}{l}\displaystyle \frac{DL}{2}\displaystyle \int _0^ t\vert \displaystyle \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}\vert ^2(L,t)=\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \int _0^ t\displaystyle \int _0^ L[\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\vert ^2+{3D}\vert \displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}\vert ^2]+[\displaystyle \int _0^ L\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}x]_0^ t\\ = tE(0)+D\displaystyle \int _0^ t\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}\vert ^2+[\displaystyle \int _0^ L\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}x]_0^ t\end{array}} \]

On peut alors en déduire (exercice) que:

\[ \boxed {\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\displaystyle \frac{DL}{2t}\displaystyle \int _0^ t \vert \displaystyle \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}\vert ^2(L)=E(0).} \]

Ceci signifie que l’on peut tout savoir de l’énergie de la poutre en observant ce qui se passe à l’extrémité.