2.1 Principe de l’énergie

Conservation de l’énergie ($F=0$)

Soit $u$ la solution du modèle de poutre (sans second membre et avec encastrement):

\[ \boxed {\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}+D\displaystyle \frac{\partial ^4u}{\partial x^4}=00{<}x{<}L,\forall t{>}0,\\ u(0,t)=\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=u(L,t)=\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(L,t)=0\forall t{>}0,\\ u(x,0)=u_0(x),\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=u_1(x),0{<}x{<}L\end{array}} \]

En multipliant formellement par $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}$ et en intégant sur $]0,L[$, nous obtenons (après double intégration par parties, voir l’écran 4):

\[ \hskip-8.53582677165pt\boxed {E(t)=\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\vert ^2+\displaystyle \frac{D}{2}\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}\vert ^2=\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \int _0^ L \vert u_1\vert ^2+\displaystyle \frac{D}{2}\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial ^2 u_0}{\partial x^2}\vert ^2=E(0).} \]

Cette relation traduit la conservation de l’énergie mécanique totale.

Conservation de l’action ($f=0$)

On procède comme précédemment mais cette fois en multipliant par $u$ l’équation de la poutre, en intégrant de $0$ à $L$ et de $0$ à $t$ puis en effectuant deux intégrations par parties en $x$. Ceci conduit à l’identité de Maupertuis:

\[ \boxed {[\displaystyle \int _0^ L\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}u]_0^ t-\displaystyle \int _0^ t\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\vert ^2+D\displaystyle \int _0^ t\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}\vert ^2=0.} \]

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a $\forall a{>}0$

\[ \displaystyle \int _0^ L\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}u\leq \displaystyle \frac{1}{a}[\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\vert ^2+\displaystyle \frac{a^2}{2}\displaystyle \int _0^ L\vert u\vert ^2], \]

et en utilisant deux fois l’inǵalité de Poincaré (cours 1 vidéo p. 9) , on obtient avec $a=\sqrt {D}/L^2$ et $\forall t{>}0$:

\[ - \displaystyle \frac{2L^2}{\sqrt {D}}E(0)\leq \overbrace{\displaystyle \int _0^ t \displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\vert ^2-D\displaystyle \int _0^ t\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}\vert ^2}^{\hbox{ cette quantité s'appelle l'action de Maupertuis pour la poutre}}\leq \displaystyle \frac{2L^2}{\sqrt {D}}E(0). \]