1.2 Unicité

Unicité de la solution régulière

Supposons qu’il y ait deux solutions $u^1$ et $u^2$. La différence $\delta u$ vérifie:

\[ \hskip-8.53582677165pt\boxed {\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\partial ^2 \delta u}{\partial t^2}+D\displaystyle \frac{\partial ^4\delta u}{\partial x^4}=0, \delta u(0,t)=\displaystyle \frac{\partial \delta u}{\partial x}(0,t)=\delta u(L,t)=\displaystyle \frac{\partial \delta u}{\partial x}(L,t)=0,\\ \delta u(x,0)=0,\displaystyle \frac{\partial \delta u}{\partial t}(x,0)=0.\end{array}} \]

En multipliant par $\displaystyle \frac{\partial \delta u}{\partial t}$ et en intégrant de $0$ à $L$ puis en faisant une double intégration par parties, compte tenu des conditions aux limites en $x=0$ et $x=L$:

\[ \displaystyle \frac{\partial }{\partial t}[\overbrace{\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \int _{0}^{L}\vert \displaystyle \frac{\partial \delta u}{\partial t}\vert ^2+\displaystyle \frac{D}{2}\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial ^2 \delta u}{\partial x^2}\vert ^2}^{\hbox{ c'est l'énergie totale de la poutre}}]=0. \]

Or à $t=0$ l’expression de l’énergie ci-dessus est nulle. Elle est donc nulle pour tout $t$ et on en déduit que:

\[ \boxed {\delta u=0.} \]