2.3 Où sont les ondes?

Interpétration en termes d’ondes

Il existe une autre façon d’écrire le modèle de la corde. On pose:

\[ p=\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t},q=-c^2\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x},\hbox{ puis: }P=\left(\begin{array}{l}p\\ q\end{array}\right). \]

L’équation du modèle devient:

\[ \displaystyle \frac{\partial P}{\partial t}+\Lambda \displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}=0,\hbox{ avec }\Lambda =\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{l}0 \\ c^2\end{array}& \begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\end{array}\right). \]

On peut alors diagonaliser la matrice $\Lambda $ dans la base (les vp sont $\pm c$):

\[ w_1=\left(\begin{array}{l}1\\ c\end{array}\right),w_2=\left(\begin{array}{l}1\\ -c\end{array}\right),P=\alpha _1(x,t)w_1+\alpha _2(x,t)w_2. \]

On obtient ainsi (en utilisant la base duale de $w_1,w_2$):

Ouvrir/fermer la video.

\[ \displaystyle \frac{\partial \alpha _1}{\partial t}+c\displaystyle \frac{\partial \alpha _1}{\partial x}=0\hbox{ et }\displaystyle \frac{\partial \alpha _2}{\partial t}-c\displaystyle \frac{\partial \alpha _2}{\partial x}=0, \]

dont les solutions sont: $\alpha _1(x,t)=f(x-ct),\alpha _2(x,t)=g(x+ct)$,
f et g sont déterminées en fonction de $u_0$ et $u_1$.

Suite de la résolution...

A partir de:

\[ { \boxed {\begin{array}{l}\alpha _1(x,t)=f(x-ct)=\displaystyle \frac{1}{2}[\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}(x,t)-c^2\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}](x,t),\\ \alpha _2(x,t)=g(x+ct)=\displaystyle \frac{1}{2}[\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+c^2\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}](x,t),\end{array}}} \]

on obtient les deux expressions des ondes progressive et rétrograde: \[ f(s)=\displaystyle \frac{1}{2}[u_1(s)-c^2\displaystyle \frac{\partial u_0}{\partial x}(s)],g(s)=\displaystyle \frac{1}{2}[u_1(s)+c^2\displaystyle \frac{\partial u_0}{\partial x}(s)], \] ce qui nous conduit à l’expression de la solution:

\[ \boxed {\begin{array}{l}u(x,t)=u_0(x)+ \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \int _0^ t[u_1(x-cs)+u_1(x+cs)+c^2(\displaystyle \frac{\partial u_0}{\partial x}(x+cs)-\displaystyle \frac{\partial u_0}{\partial x}(x-cs))]ds.\end{array}} \]

 
Remarque :

Ces expressions ne sont utilisables que dans le triangle isocèle espace-temps délimité par les droites d’équations: $x=ct,t=0,\hbox{ et }x=L-ct$. En dehors il faut gérer les réflexions sur les bords. Détails../afilms/V7C2