2.2 Propriétés cachées

Calcul de la tension de la corde

Soit $\theta $ une fonction de $x$ et $t$ définie sur $[0,L]\times [0,t]$ et assez régulière.
En multipliant l’équation de la corde par $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\theta $ , nous obtenons:

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\[ \begin{array}{l}[\displaystyle \int _0^ L\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\theta ]_0^ t-[\displaystyle \frac{c^2}{2}\displaystyle \int _0^ t\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\vert ^2\theta ]_0^ L=\\ \hskip85.3582677165pt-\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \int _0^ t\displaystyle \int _0^ L[\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\vert ^2+c^2\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\vert ^2]\displaystyle \frac{\partial \theta }{\partial x}-2\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\displaystyle \frac{\partial \theta }{\partial t},\end{array} \]

Différents choix pour $\theta $ donnent des informations cachées sur $u$.

\[ \hbox{Par exemple pour }\theta =x:={>}\displaystyle \frac{Lc^2}{2}\displaystyle \int _0^ t\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\vert ^2=tE(0)+[\displaystyle \int _0^ L\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\theta ]_0^ t. \]

Et en utilisant l’inégalité triangulaire de Cauchy-Schwarz :

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\[ E(0)(t-2T_0)\leq \displaystyle \frac{Lc^2}{2}\displaystyle \int _0^ t\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\vert ^2\leq E(0)(t+2T_0) \]\[ \hbox{ainsi : } \boxed {\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\displaystyle \frac{c^2L}{2t}\int _0^ t\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(L,t)\vert ^2=E(0).} \]