2.1 Principe de l’énergie

Conservation de l’énergie

Soit $u$ la solution du modèle (sans second membre):

\[ \boxed {\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}-c^2\displaystyle \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=0,0{<}x{<}L,\forall t{>}0,\\ u(0,t)=u(L,t)=0\forall t{>}0,\\ u(x,0)=u_0(x),\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=u_1(x),0{<}x{<}L\end{array}} \]

En multipliant formellement par $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}$ et en intégant sur $]0,L[$, nous obtenons (après intégration par parties, voir l’écran 4 de ce cours):

\[ \hskip-8.53582677165pt\boxed {E(t)=\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\vert ^2+\displaystyle \frac{c^2}{2}\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\vert ^2=\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \int _0^ L \vert u_1\vert ^2+\displaystyle \frac{c^2}{2}\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial u_0}{\partial x}\vert ^2=E(0).} \]

Cette relation traduit la conservation de l’énergie mécanique totale (cinétique+potentielle).

Conservation de l’action

On procède comme précémment mais cette fois en multipliant par $u$ l’équation de la corde, en intégrant de $0$ à $L$ et de $0$ à $T$ puis en effectuant une intégration par parties à la fois en $t$ et en $x$. Ceci conduit à l’identité de Maupertuis:

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\[ \boxed {[\displaystyle \int _0^ L\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}u]_0^ t-\displaystyle \int _0^ t\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\vert ^2+c^2\displaystyle \int _0^ t\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\vert ^2=0.} \]

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

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On a $\forall a{>}0$:

\[ \displaystyle \int _0^ L\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}u\leq \displaystyle \frac{1}{a}[\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\vert ^2+\displaystyle \frac{a^2}{2}\displaystyle \int _0^ L\vert u\vert ^2], \]

et en utilisant l’inégalité de Poincaré vue dans le cours 1 (vidéo p. 9) , on obtient avec $a=c/L$ et $\forall t{>}0$:

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Preuve de l’estimation ci-dessous :

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\[ - \displaystyle \frac{2L}{c}E(0)\leq \overbrace{\displaystyle \int _0^ t \displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\vert ^2-c^2\displaystyle \int _0^ t\displaystyle \int _0^ L\vert \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\vert ^2}^{\hbox{ cette quantité s'appelle l'action de Maupertuis}}\leq \displaystyle \frac{2L}{c}E(0). \]

$T_0=L/c$ est le temps pour parcourir la distance $L$ à la vitesse $c$ .