2.7 Estimation d’erreur

Estimation d’erreur

La solution approchée de $\varphi ^ h(n\Delta t)$ est $\varphi _ n^ h$. En supposant des régularités suffisantes sur la solution et en considérant par exemple le schéma $S1$, nous avons le résultat suivant:

Théorème estimation d’erreur dans l’approximation en temps

$\exists c_2,c_3{>}0$, indépendantes de $\Delta t$ et de la solution t.q.:

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\[ \vert \vert \displaystyle \frac{\varphi ^ h_{n+1}-\varphi ^ h_{n}}{\Delta t}-\dot\varphi ^ h(n\Delta t)\vert \vert _{0,2,\Omega }+\vert \vert \varphi ^ h_{n+1}-\varphi ^ h((n+1)\Delta t)\vert \vert _{1,2,\Omega }\leq c_2e^{c_3t_ f}\Delta t, \]

Les constantes dépendent de $\varphi _0$ et $\varphi _1$.

 
 
Remarque erreur totale :

En utilisant l’inégalité triangulaire, nous obtenons l’estimation d’erreur entre la solution continue à l’instant $n\Delta t$, soit: $\varphi (n\Delta t)$ et la solution totalement approchée $\varphi ^ h_ n$ sur le segment $[0,t_ f]$:

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\[ \vert \vert \dot\varphi (n\Delta t)-(\frac{\varphi ^ h_{n+1}-\varphi ^ h_{n}}{\Delta t})\vert \vert _{0,2,\Omega }+\vert \vert \varphi (n\Delta t)-\varphi ^ h_ n\vert \vert _{1,2,\Omega }\leq c_4e^{c_5t_ f}(h+\Delta t) \]