2.6 Erreur de phase

Erreur de phase

Prenons l’équation:

\[ \ddot\alpha +\lambda \alpha =0, \]

dont les solutions sont:

\[ \alpha (t)=\alpha (0)\cos (\sqrt {\lambda }t)+\displaystyle \frac{\dot\alpha (0)}{\sqrt {\lambda }}\sin (\sqrt {\lambda }t) \]

la pulsation $\omega $ des mouvements est donc $\sqrt {\lambda }$. Dans le schéma approché $S3$ (par exemple) les solutions sont:

\[ \boxed {\begin{array}{l}\alpha _ n=\alpha _0r^ n=\alpha _0\varrho ^ n e^{\pm i n\theta }=\alpha _0\varrho ^ n e^{\pm i n\Delta t\frac{\theta }{\Delta t}},\\ \hbox{ o\` u }\varrho =\vert r\vert \hbox{ et } \theta =\hbox{arctan}(\sqrt {\lambda } \Delta t\displaystyle \frac{\sqrt {1-\frac{\lambda \Delta t^2}{4}}}{1-\frac{\lambda \Delta t^2}{2}}).\end{array}} \]

En faisant un développement limité au voisinage de $\sqrt {\lambda } \Delta t=0$ nous obtenons l’expression de la pulsation approchée $\omega ^{\Delta t}$:

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\[ \boxed {\omega ^{\Delta t}=\omega (1+\frac{3\omega ^2\Delta t^2}{8}+\ldots ),\hbox{ soit }\omega ^{\Delta t}{>}\omega .} \]