2.3 Consistance et ordre

Consistance et ordre

Pour l’étude des schémas il est possible, lorsque $U=0$, d’utiliser la famille des modes propres de la matrice $A$ vis-à-vis de $M$. Les schémas deviennent ($\lambda $ est une valeur propre):

\[ \boxed {\begin{array}{l}\hbox{schéma 1: }\alpha _{n+1}-2\alpha _ n+\alpha _{n-1}+\lambda \Delta t^2(\displaystyle \frac{\alpha _{n+1}+\alpha _ n}{2})=0,\\ \hbox{schéma 2: }\alpha _{n+1}-2\alpha _ n+\alpha _{n-1}+\lambda \Delta t^2(\displaystyle \frac{\alpha _{n+1}+\alpha _{n-1}}{2})=0,\\ \hbox{schéma 3: }\alpha _{n+1}-2\alpha _ n+\alpha _{n-1}+\lambda \Delta t^2\alpha _{n}=0.\end{array}} \]

 
Définition ordre d’un schéma hyperbolique pour léquation des ondes :

Prenons l’exemple d’un schéma de la forme ($\varphi $ sol.regul.): \[ \forall v\in V,m(\frac{\varphi _{n+1}-2\varphi _ n+\varphi _{n-1}}{\Delta t^2},v)+a(\varphi _ n,v)=0. \] Le schéma est d’ordre $p$ (et consistant, pour $p\geq 1$), si $\forall v\in V$: \[ \boxed {\begin{array}{l}m(\displaystyle \frac{\varphi ((n+1)\Delta t)-2\varphi (n\Delta t)+\varphi ((n-1)\Delta t)}{\Delta t^2},v)+a(\varphi (n\Delta t),v)\\ =O(\Delta t^ p)(v)\hbox{ avec }\displaystyle \lim _{\Delta t\rightarrow 0}\vert \displaystyle \frac{O(\Delta t^ p)}{\Delta t^ p}(v)\vert \leq c\vert \vert v\vert \vert _ H, (H=L^2(\Omega ) \hbox{ ici}).\end{array}} \]