2.2 Etude de quelques schémas

Etude de quelques schémas

Pour simplifier la discussion nous nous plaçons dans le cas où $U=0$. Les schémas variationnels ont leur pendant matriciel en notant $X_ n$ le vecteur de ${\mathbb R}^ N$ des composantes de la fonction $\varphi ^ h_ n$ dans la base $\{ w_ i\} $ générée par la MEF. On se propose d’approcher la solution du modèle issu de la MEF par celle d’un des schémas suivants:

\[ \boxed {\begin{array}{l}\hbox{schéma 1: }M(\displaystyle \frac{X_{n+1}-2X_ n+X_{n-1}}{\Delta t^2})+A(\displaystyle \frac{X_{n+1}+X_ n}{2})=0,\\ \hbox{schéma 2: }M(\displaystyle \frac{X_{n+1}-2X_ n+X_{n-1}}{\Delta t^2})+A(\displaystyle \frac{X_{n+1}+X_{n-1}}{2})=0,\\ \hbox{schéma 3: }M(\displaystyle \frac{X_{n+1}-2X_ n+X_{n-1}}{\Delta t^2})+AX_ n=0,\\ X_0 \hbox{ et }X_1\hbox{ donnés}.\end{array}} \]