2.1 Approximation en temps

Formulation variationnelle approchée en temps et en espace

Soit $\Delta t=\displaystyle \frac{t_ f}{N_ t}$, $N_ t$ le nombre de pas de temps. La valeur exacte de $\varphi ^ h(n\Delta t)$, est approchée par $\varphi _ n^ h$. Sous forme variationnelle, un schéma possible est le suivant (dit aux différences centrées arrières):

\[ \boxed {\begin{array}{l}\varphi ^ h_ n\in V^ h\hbox{ telle que: }\forall v\in V^ h,\\ m(\displaystyle \frac{\varphi ^ h_{n+1}\hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528pt2\varphi _ n^ h\hskip-1.42263779528pt+\hskip-1.42263779528pt\varphi _{n-1}^ h}{\Delta t},v)\hskip-2.84527559055pt+\hskip-2.84527559055ptUc(\displaystyle \frac{\varphi _ n^ h\hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528pt\varphi _{n-1}^ h}{\Delta t},v)\hskip-2.84527559055pt+\hskip-2.84527559055pta(\varphi _ n^ h,v)-U^2d(\varphi _ n^ h,v)\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt0,\\ \varphi _0^ h=\pi \varphi _0,\varphi _1^ h=\varphi _{0}^ h+\Delta t\pi \varphi ^ h_1,\\ \pi \hbox{ est l'opérateur d'interpolation de }H^2(\Omega )\cap V\hbox{ dans }V^ h. \end{array}} \]

Il existe d’autres façons de démarrer le schéma (calcul de $\varphi _1^ h$). Par exemple en introduisant un point fictif $\varphi _{-1}^ h\simeq \varphi ^ h(-\Delta t)$ et écrivant le schéma précédent en $t=0$ ainsi que: $\displaystyle \frac{\varphi _1^ h-\varphi ^ h_{-1}}{2\Delta t}=\pi \varphi _1.$ On résout alors le système obtenu pour trouver $\varphi ^ h_1$.