1.1 Formulation variationnelle approchée

Formulation variationnelle approchée

On introduit une MEF et le sous espace $V^ h$ associé. On note $\{ w_ i\} $ la famille des fonctions de base de $V^ h$. Le modèle de propagation d’ondes que nous avons développé au chapitre 11, se formule ainsi:

\[ \boxed {\begin{array}{l}\hbox{trouver }\varphi \in V,\forall t{>}0,\hbox{ telle que: }\varphi (x,0)=\varphi _0(x),\dot\varphi (x,0)=\varphi _1(x),\\ \forall v\in V,m(\ddot\varphi ,v)+Uc(\dot\varphi ,v)+a(\varphi ,v)-U^2d(\varphi ,v)=0.\end{array}} \]

Le problème approché consiste à trouver $\varphi ^ h\in V^ h,\forall t\geq 0,$ telle que: \[ \boxed {\begin{array}{l}\varphi ^ h(x,0)=\pi \varphi _0(x),\dot\varphi ^ h(x,0)=\pi \varphi _1(x),\\ \forall v\in V^ h,m(\ddot\varphi ^ h,v)+Uc(\dot\varphi ^ h,v)+a(\varphi ^ h,v)-U^2d(\varphi ^ h,v)=0.\end{array}} \] L’existence et l’unicité d’une solution au problème approché sont classiques puisqu’il s’agit d’une EDO.