8 Estimation a priori

Estimation a priori

En multipliant par $\dot\varphi ^ N$ l’équation variationnelle du modèle approché, nous obtenons:

\[ \displaystyle \frac{d}{dt}[\displaystyle \frac{1}{2}m(\dot\varphi ^ N,\dot\varphi ^ N)+\displaystyle \frac{1}{2}a(\varphi ^ N,\varphi ^ N)-\displaystyle \frac{U^2}{2}d(\varphi ^ N,\varphi ^ N)]=0, \]

ce qui en intégrant de $0$ à $t$ donne:

\[ \vert \vert \dot\varphi ^ N\vert \vert _{0,2,\Omega }^2(t)+\vert \vert \varphi ^ N\vert \vert _{1,2,\Omega }^2(t)\leq cte\hbox{ (fonction des conditions initiales)}. \]

On en déduit que la suite $\varphi ^ N$ est bornée dans l’espace de fonctions $L^\infty (]0,t_ f[; H^1(\Omega ))$ et que $\dot\varphi ^ N$ l’est dans $L^\infty (]0,t_ f[;L^2(\Omega ))$.
De cela on peut extraire une sous-suite qui converge en un sens faible vers la solution du modèle continu en calquant la démarche utilisée pour l’équation de la chaleur.

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L’unicité s’obtient en introduisant la différence entre deux solutions et en obtenant sur cette différence, une estimation analogue à celle ci-dessus.