7 Le problème approché

Le problème approché

 
Remarque antisymétrie et écoulement subsonique :

On remarque que puisque $c(.,.)$ est antisymétrique, on a: \[ \forall v\in V, (\hbox{ et même }H^1(\Omega )),c(v,v)=0 \] èt puisque $U{<}c$ (il faut que $a(.,.)$ soit une norme!): \[ \forall v\in V,a(v,v)-U^2d(v,v)\geq c_0\vert \vert v\vert \vert _{1,2,\Omega }^2. \]

Le problème approché est construit à l’aide de l’espace de dimension finie: $V^ N=\{ v=\displaystyle \sum _{i=1,N}\alpha _ iw_ i\} $ et est défini par (les C.I. sont les projections dans $V^ N$ au sens de $m(.,.)$ des C.I. continues):

\[ \boxed {\begin{array}{l}\hbox{ trouver }\varphi ^ N(x,t)\in V^ N,\forall t{>}0,\hbox{ telle que:}\\ \forall v\in V^ N,m(\ddot\varphi ^ N,v)+Uc(\dot\varphi ^ N,v)+a(\varphi ^ N,v)-U^2d(\varphi ^ N,v)=0.\end{array}} \]

Il a une solution unique car c’est une EDO-matricielle classique.