6 Démarche pour l’existence et l’unicité lorsque $U\neq 0$

Démarche pour l’existence et l’unicité $U\neq 0$

 
Remarque :

Il n’est plus possible de construire directement une suite de Cauchy car l’opérateur ne se diagonalise plus dans la base $\{ w_ i\} $. Mais on peut construire une suite de problèmes approchés dont on construit une estimation a priori dans l’espace $L^\infty (]0,t_ f[;H^1(\Omega ))$ pour la solution et dans $L^\infty (]0,t_ f[;L^2(\Omega ))$ pour sa dérivée en temps. La difficulté est ici d’obtenir l’estimation a priori. Commençons par la formulation variationnelle du modèle d’aéroacoustique.

Théorème formulation variationnelle

Les formes $a(.,.)$ et $m(.,.)$ sont définies à l’écran 5; on pose de plus:

$\hskip56.905511811ptd(u,v)=\displaystyle \int _\Omega \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_1}\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x_1},c(u,v)=\displaystyle \int _\Omega \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_1}v-u\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x_1}.$

Le modèle variationnel consiste à trouver $\varphi \in V,\forall t\geq 0,$ t.q.:

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\[ \boxed {\begin{array}{l}\varphi (x,0)=\varphi _0(x),\dot\varphi (x,0)=\varphi _1(x)\hbox{ et:}\\ \forall v\in V,m(\ddot\varphi ,v)+Uc(\dot\varphi ,v)+a(\varphi ,v)-U^2d(\varphi ,v)=0.\end{array}} \]