4 Régularité en temps si $U=0$

Régularité en temps si $U=0$

Contrairement à l’équation de la chaleur, celle des ondes n’est pas régularisante. On peut cependant établir des résultats de régularité en temps à partir des conditions initiales et du second membre.
Pour cela il suffit de dériver l’équation vérifiée par $\varphi $. Par exemple, la dérivée première de $\varphi $ en temps, vérifie l’équation: \[ \boxed {\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\partial ^2\dot\varphi }{\partial t^2}-c^2\Delta \dot\varphi =\dot f,\hbox{ dans }\Omega ,\displaystyle \frac{\partial \dot\varphi }{\partial \nu }=0\hbox{ sur }\Gamma _1,\dot\varphi =0\hbox{ sur }\Gamma _0,\\ \dot\varphi (x,0)=\varphi _1(x),\displaystyle \frac{\partial \dot\varphi }{\partial t}(x,0)=\dot f(x,0)+c^2\Delta \varphi _0(x).\end{array}} \]

En appliquant le résultat d’existence (et d’unicité) on sait qu’il y a une solution dans ${\cal C}^0([0,t_ f];H^1(\Omega ))\cap {\cal C}^1([0,t_ f];L^2(\Omega ))$ dès que par exemple:

\[ \boxed {\dot f\hbox{ et }\Delta \varphi _0\in L^2(]0,t_ f[\times \Omega ).} \]